非厄米系统时间演化

研究态右矢随时间的演化

某物理系统，时刻态右矢为 ，时刻态右矢为

设这两个态矢由时间演化算符联系： 设t0时刻，态右矢由某可观测量的本征右矢展开： 同样的稍后某个时刻有 在物理上容易理解时演算符具有结合性： 下面考虑无穷小时间演化算符, 显然有 。

因此我们可以写为如下形式：

利用结合性，可得： 若H不含时，方程解为： 若哈密顿量是厄米的，其本征右矢定义为：，有。其本征态数为N。

若H不含时，设初始时刻为t=0，任意t时刻的波函数为： 这样就可以通过计算哈密顿量的本征值和本征函数来数值模拟时间演化。

可以将上述方程最后一项的求和形式写成矩阵形式。

在数值计算中，若以列向量存贮本征右矢则得到的本征右矢为：。

这是个的矩阵，对应本征能量为，对应本征左矢形成的矩阵为。

有时我们需要插入单位矩阵方便计算，有. 厄米情况下有, 也就是说，

将对应特征方程为：

将写为对角矩阵： 任意时刻波函数可以描述为： 由于算符的幺正性，波函数在时间演化下概率守恒

非厄米情况下,哈密顿量有双正交基。

左右矢矩阵定义不变。但是要注意的是和不一定相等。

也就是说一定有

任意时刻的波函数描绘为 当哈密顿量与波函数具有pairty time symmetry(PTS)，也就是具有纯实的能谱时候，波函数概率守恒，而能量具有虚部的时候概率具有增益/耗散。可以将能量分为实部与虚部理解： 虚部大于0存在耗散，小于零存在增益。