Rabi振荡

(更新中)

两能级系统到两带系统的rabi振荡。

二能级系统的Rabi振荡

具有耦合的二能级系统

考虑两能级原子,其具有两个能态, 为原子基态对应能量为原子激发态对应能量

两能级间的耦合强度用一个泛指的V代表(V可以是任何形式,不一定是常数)。

哈密顿量可以表示为矩阵形式: 一个简单的二能级系统是电子的自旋在磁场下运动。

我们定义:

  • 平均能量:

  • 能级间隔:

  • 等效磁场矢量:

哈密顿量可以改写为: 单位矩阵相乘常数项对物理图像没什么影响,因此可以忽略 项。

而后面的 和在自旋在磁场下进行拉莫尔进动十分相似。

频率和能量间有对应关系:

定义两能级间的跃迁频率:

在频率量纲下(将单位1换位,这样在新量纲下角频率可以直接表示原量纲下的能量)

基矢为:

取非对角耦合为正弦驱动

将平均能量位置设为0点(即去掉去掉平均能量),含时哈密顿量为:

旋波近似RWA

采用旋波近似法(RWA)后

RWA是略去微小的高频振荡的一种做法。在这里可以简做如下简要理解:

,而 可以分别代表吸收和释放一个光子的过程。

粒子在基态到激发态跃迁主要过程是吸收光子,反之主要为释放光子。

因此非对角元仅各自仅在中保留一项而忽略了另一项。

同样,可以按自旋在磁场运动理解,可以改写成一个等效磁场和等效自旋的点乘 其中:

可以看到磁场的垂直分量在x-y平面内保持强度按一定角频率旋转。

而自旋在这个旋转磁场下进行拉莫尔进动。通过引入旋转坐标系可以方便的处理这个问题。

在旋转坐标系下研究

引入幺正变换进入旋转坐标系: 薛定谔方程可以重新写为: Rabi振荡频率为:(为共情形) (近)共振的条件 : , 远失谐条件 :

以共振驱动为例: 在基下,哈密顿量为 利用对角化后得到系统的本征态和本征能量为: 以本征态为新基,时间演化算符为:

初态为: 随着时间演化的波函数为: 基态和激发态的概率取决于对称态和反对称态的概率振幅,而对称态和反对称态的概率振幅因为有相位因子会发生干涉。 设初态为基态 则有 ​ 系统在时间演化下处于基态和激发态之间的概率为: ​

可以发现粒子在能级间不断的进行振荡(跃迁)。这便是拉比振荡

非厄米两能带系统Rabi振荡

Ultrafast and anharmonic Rabi oscillations between non-Bloch bands (-Ching Hua Lee& Stefano Longhi)

https://doi.org/10.1038/s42005-020-00417-y

实空间下研究

考虑一个实空间哈密顿量 在两条链间加一个驱动场 后,哈密顿可以表示为 1

相当于上图a中结构。

通过相似变换对角化: 变换后哈密顿为

变换后新基下波函数为 , 在频率单位制下(单位1换为$i=H$,即: 将A和B用的本征矢量 and 展开: 本征右矢定义为 , 本征左矢定义为: 它们满足双正交关系 ,

we obtain coupled equations describing the evolution of the amplitude probabilities and of the symmetric/antisymmetric sectors: 其中 旋波近似下,仅保留谐振项,将方程脱耦为: 为例,其特征根为: Rabi频率为:

Rabi频率正比于有效偶极矢量:

k空间下求解

PBC

在PBC下,k空间哈密顿量为: $$ H(k)= \=

$$

利用量子化的准动量表示为平面波的形式: 显然当且仅当n=l时, 才不为零。ac场仅会在k-E面内导致纵向的反转。如下图a所示

fig2

ROs 总是谐波的形式,并且有效偶极矢量总是不变的,没有任何的增强。

OBC

在开边界条件下,没有趋肤效应的波函数是具有Bloch系数()的PBC的波函数的奇线性叠加。

OBC下的的定义和PBC下有不同,虽然波函数已经不是bloch波的形式,但是n依然可以是本征态的很好的label。

存在趋肤效应的时,可以通过引入GBZ使得PBC和OBC下的本征态形成一一对应。也就是作如下拓展。 首先介绍没有趋肤效应的代用哈密顿量(surrogate hamiltonian): 考虑从PBC动量本征态态的叠加中明确构建满足OBC的波函数。

如果叠加系数要在热力学极限中收敛,我们需要存在体-边对应关系,即没有趋肤效应。

对于特定的能量波函数需要在x=0和x=N+1处为0。要使波函数在x=0处消失,需要有至少两个非零特征态的叠加。

为了使它在任意大的N的热力学极限中也在x=N+1时消失,另一个先决条件是两个特征态必须以相同的速度衰减,否则其中一个与另一个相比将小得不能再小,并且不可能在x=N+1时抵消它. 两个特征态以相同的速度衰减的这一要求,仅需要它们的虚动量分量相等,即。因此,这也是不经历趋肤效应的条件。

在OBC下, 动量不在是一个好量子数,复动量变换可以解释为复规范的相似变换。 这样解释的可以推得 拥有和OBC下相同的能谱。因此,要理解一个通用的非厄米哈密顿H的OBC谱,就必须确定其代理哈密顿的OBC谱,这也几乎等于的PBC谱,因为后者服从体-界对应关系。

在热力学极限中,几乎所有的状态(除了孤立的边缘状态)都是边界态,因此,OBC谱几乎完全由来索引。

并且由上个公式也可以得到, 对于同一个能量有:。其中 不是一个趋肤态,它可以由PBC下本征态展开。 对于单带系统哈密顿量$H_k_n=n, u{PBC}(k_n)e{ik_n x}$ ,在双正交的要求下:

由此可得: 其中:。当N充分大时,

可见即使 其依然有不等于0的值。也就是在k-E面内存在非纵向的Rabi共振。如图二b所示。

共振频率也与尺寸指数相关,且和间隔的平方成反比。


Rabi振荡
http://xiangjichn.githut.io/2022/10/08/Rabi振荡/
作者
Xiang ji
发布于
2022年10月8日
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