Rabi振荡

（更新中）

两能级系统到两带系统的rabi振荡。

二能级系统的Rabi振荡

具有耦合的二能级系统

考虑两能级原子，其具有两个能态, 为原子基态对应能量，为原子激发态对应能量。

两能级间的耦合强度用一个泛指的V代表（V可以是任何形式，不一定是常数）。

哈密顿量可以表示为矩阵形式： 一个简单的二能级系统是电子的自旋在磁场下运动。

我们定义：

• 平均能量:

• 能级间隔:

• 等效磁场矢量:

哈密顿量可以改写为： 单位矩阵相乘常数项对物理图像没什么影响，因此可以忽略 项。

而后面的 和在自旋在磁场下进行拉莫尔进动十分相似。

频率和能量间有对应关系：

定义两能级间的跃迁频率：

在频率量纲下（将单位1换位，这样在新量纲下角频率可以直接表示原量纲下的能量）

基矢为：

取非对角耦合为正弦驱动

将平均能量位置设为0点（即去掉去掉平均能量），含时哈密顿量为：

旋波近似RWA

采用旋波近似法（RWA）后

RWA是略去微小的高频振荡的一种做法。在这里可以简做如下简要理解：

，而 可以分别代表吸收和释放一个光子的过程。

粒子在基态到激发态跃迁主要过程是吸收光子，反之主要为释放光子。

因此非对角元仅各自仅在中保留一项而忽略了另一项。

同样，可以按自旋在磁场运动理解，可以改写成一个等效磁场和等效自旋的点乘 其中：

可以看到磁场的垂直分量在x-y平面内保持强度按一定角频率旋转。

而自旋在这个旋转磁场下进行拉莫尔进动。通过引入旋转坐标系可以方便的处理这个问题。

在旋转坐标系下研究

引入幺正变换进入旋转坐标系： 薛定谔方程可以重新写为: Rabi振荡频率为：(为共情形) (近)共振的条件 : ， 远失谐条件 :

以共振驱动为例： 在基下，哈密顿量为 利用对角化后得到系统的本征态和本征能量为: 以本征态为新基，时间演化算符为：

初态为： 随着时间演化的波函数为： 基态和激发态的概率取决于对称态和反对称态的概率振幅，而对称态和反对称态的概率振幅因为有相位因子会发生干涉。 设初态为基态 则有 ​ 系统在时间演化下处于基态和激发态之间的概率为： ​ ​

可以发现粒子在能级间不断的进行振荡（跃迁）。这便是拉比振荡

非厄米两能带系统Rabi振荡

Ultrafast and anharmonic Rabi oscillations between non-Bloch bands (-Ching Hua Lee& Stefano Longhi)

https://doi.org/10.1038/s42005-020-00417-y

实空间下研究

考虑一个实空间哈密顿量 在两条链间加一个驱动场 后，哈密顿可以表示为

相当于上图a中结构。

通过相似变换对角化： 变换后哈密顿为

变换后新基下波函数为 , 在频率单位制下（单位1换为$i=H$，即： 将A和B用的本征矢量 and 展开： 本征右矢定义为 ， 本征左矢定义为： 它们满足双正交关系 ,

we obtain coupled equations describing the evolution of the amplitude probabilities and of the symmetric/antisymmetric sectors: 其中 旋波近似下，仅保留谐振项，将方程脱耦为： 以为例，其特征根为： Rabi频率为：

Rabi频率正比于有效偶极矢量：

k空间下求解

PBC

在PBC下，k空间哈密顿量为： $$ H(k)= \=

$$

利用量子化的准动量表示为平面波的形式： 显然当且仅当n=l时， 才不为零。ac场仅会在k-E面内导致纵向的反转。如下图a所示

fig2

ROs 总是谐波的形式，并且有效偶极矢量总是不变的，没有任何的增强。

OBC

在开边界条件下，没有趋肤效应的波函数是具有Bloch系数（）的PBC的波函数的奇线性叠加。

OBC下的的定义和PBC下有不同，虽然波函数已经不是bloch波的形式，但是n依然可以是本征态的很好的label。

存在趋肤效应的时，可以通过引入GBZ使得PBC和OBC下的本征态形成一一对应。也就是作如下拓展。 首先介绍没有趋肤效应的代用哈密顿量（surrogate hamiltonian）: 考虑从PBC动量本征态态的叠加中明确构建满足OBC的波函数。

如果叠加系数要在热力学极限中收敛，我们需要存在体-边对应关系，即没有趋肤效应。

对于特定的能量波函数需要在x=0和x=N+1处为0。要使波函数在x=0处消失，需要有至少两个非零特征态的叠加。

为了使它在任意大的N的热力学极限中也在x=N+1时消失，另一个先决条件是两个特征态必须以相同的速度衰减，否则其中一个与另一个相比将小得不能再小，并且不可能在x=N+1时抵消它. 两个特征态以相同的速度衰减的这一要求，仅需要它们的虚动量分量相等，即。因此，这也是不经历趋肤效应的条件。

在OBC下, 动量不在是一个好量子数，复动量变换可以解释为复规范的相似变换。 这样解释的可以推得 拥有和OBC下相同的能谱。因此，要理解一个通用的非厄米哈密顿H的OBC谱，就必须确定其代理哈密顿的OBC谱，这也几乎等于的PBC谱，因为后者服从体-界对应关系。

在热力学极限中，几乎所有的状态（除了孤立的边缘状态）都是边界态，因此，OBC谱几乎完全由来索引。

并且由上个公式也可以得到, 对于同一个能量有：。其中 不是一个趋肤态，它可以由PBC下本征态展开。 对于单带系统哈密顿量$H_k_n=n, u^{PBC}(k_n)e{ik_n x}$ ，在双正交的要求下：

由此可得： 其中：。当N充分大时，。

可见即使 其依然有不等于0的值。也就是在k-E面内存在非纵向的Rabi共振。如图二b所示。

共振频率也与尺寸指数相关，且和间隔的平方成反比。