六角晶格紧束缚模型数值详解（附Julia代码）

（更新中）

使用Julia进行六角晶格紧束缚模型（如石墨烯，Haldane模型）的数值计算。

1. 六角晶格傅里叶变换

honeycomb lattice紧束缚模型：

常见的有石墨烯；Haldane模型；

取蓝框为一个原胞, 设原胞内AB距离为a. 令AB间矢量为

1

取原胞基矢:

对应的倒格矢为：

（为方便起见可取a=1.）

仅考虑最近邻跃迁时，在费米子产生湮灭算符表象下：

三个平移矢量为：

取的位矢为，取其为元胞位置。处元胞内对应的位矢为。

傅里叶变换规范1(FT-1)：

傅里叶变换规范2(FT-2)：

也就是说，对于FT-1，A和B格点的位置看着不同，的位矢为的位矢加, 。而对于FT-2，B格点看作和A格点同一位置，b的位矢减便是a的位矢。

利用

变换得到k空间哈密顿量：

FT-1: FT-2:

相当于做了规范变换()。而规范变换不会影响物理可观测量。

因此能带计算不受影响。但是会对拓扑不变量的计算产生影响。下面会看到利用不同的变换可以适当简化计算。

2. 六角格子对应砖块格子

下面将六角格子（Honeycomb lattice）对应到砖块格子（brick lattice）。

将六角格子拉平到砖块格子，可以用直角坐标写出每个节点位置。方便写程序与取边界条件。

1

六角格子可以取zigzag，bearded，armchair等边界条件。

3. 石墨烯

仅考虑最近邻，便是简单的石墨烯模型。

4. Haldane模型

Haldane Model加入了带有相位的次近邻，由此破坏了时间反演对称性。

1 将其转化为正方晶格。。简洁起见，我们利用来代替 采用FT-2作傅立叶变换得到： 在倒空间中

，k取第一布里渊区内值。也就是取（任一个周期）内的值。

又有，可得： 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
#www.xiangjichn.com
function idx(ix::Int64,iy::Int64,nx::Int64)::Int64
    idx=(iy-1)*nx+ix
end
function pauli()
    s0 = zeros(ComplexF64,2,2)
    s1 = zeros(ComplexF64,2,2)
    s2 = zeros(ComplexF64,2,2)
    s3 = zeros(ComplexF64,2,2)
    #----
    s0[1,1] = 1
    s0[2,2] = 1
    #----
    s1[1,2] = 1
    s1[2,1] = 1
    #----
    s2[1,2] = -im
    s2[2,1] = im
    #-----
    s3[1,1] = 1
    s3[2,2] = -1
    #-----
    return s0,s1,s2,s3
end

function gamma()
    s0,s1,s2,s3=pauli()
    g0=s0
    g1=s1
    g2=s2
    g3=s3
return g0,g1,g2,g3
end
#Hamiltonian in real space
function hamr(nx::Int64,ny::Int64,gamma::Float64,flag_pbc::Int64)
    t1=1.0
    t2=0.2
    m=0.0
    phi=pi/2
#     gamma=0.2
    ham=zeros(ComplexF64,N,N)
    # mass trem
    for y in 1:ny
        for x in 1:nx
            ham[idx(x,y,nx),idx(x,y,nx)]=m+im*gamma
            ham[idx(x,y,nx)+nxy,idx(x,y,nx)+nxy]=-(m+im*gamma)
        end
    end
    #最近邻
    ##a(x,y)-b(x,y)
    for y in 1:ny
        for x in 1:nx
            ham[idx(x,y,nx),idx(x,y,nx)+nxy]=t1
            ham[idx(x,y,nx)+nxy,idx(x,y,nx)]=t1
        end
    end
    ##a(x,y)-b(x-1,y)
    for y in 1:ny
        for x in 2:nx
            ham[idx(x,y,nx),idx(x-1,y,nx)+nxy]=t1
            ham[idx(x-1,y,nx)+nxy,idx(x,y,nx)]=t1
        end
    end
    ##a(x,y)-b(x,y-1)
    for y in 2:ny
        for x in 1:nx
            ham[idx(x,y,nx),idx(x,y-1,nx)+nxy]=t1
            ham[idx(x,y-1,nx)+nxy,idx(x,y,nx)]=t1
        end
    end
    #次近邻
    ##a(x,y)-a(x+1,y)  b(x,y)-b(x+1,y) 
    for y in 1:ny
        for x in 1:nx-1
            ham[idx(x,y,nx),idx(x+1,y,nx)]=t2*exp(im*phi)
            ham[idx(x+1,y,nx),idx(x,y,nx)]=t2*exp(-im*phi)  
            ham[idx(x,y,nx)+nxy,idx(x+1,y,nx)+nxy]=t2*exp(-im*phi)
            ham[idx(x+1,y,nx)+nxy,idx(x,y,nx)+nxy]=t2*exp(im*phi)
        end
    end
    ##a(x,y)-a(x,y-1)  b(x,y)-b(x,y-1)
     for y in 2:ny
        for x in 1:nx
            ham[idx(x,y,nx),idx(x,y-1,nx)]=t2*exp(im*phi)
            ham[idx(x,y-1,nx),idx(x,y,nx)]=t2*exp(-im*phi)
            ham[idx(x,y,nx)+nxy,idx(x,y-1,nx)+nxy]=t2*exp(-im*phi)
            ham[idx(x,y-1,nx)+nxy,idx(x,y,nx)+nxy]=t2*exp(im*phi)
        end
    end
    ##a(x,y)-a(x-1,y+1)  b(x,y)-b(x-1,y+1) 
    for y in 1:ny-1
        for x in 2:nx
            ham[idx(x,y,nx),idx(x-1,y+1,nx)]=t2*exp(im*phi)
            ham[idx(x-1,y+1,nx),idx(x,y,nx)]=t2*exp(-im*phi) 
            ham[idx(x,y,nx)+nxy,idx(x-1,y+1,nx)+nxy]=t2*exp(-im*phi)
            ham[idx(x-1,y+1,nx)+nxy,idx(x,y,nx)+nxy]=t2*exp(+im*phi)
        end
    end

    if flag_pbc==1
        for x in 1:nx
        ham[idx(x,1,nx),idx(x,ny,nx)+nxy]=t1
        ham[idx(x,ny,nx)+nxy,idx(x,1,nx)]=t1   
        ham[idx(x,1,nx),idx(x,ny,nx)]=t2*exp(im*phi)
        ham[idx(x,ny,nx),idx(x,1,nx)]=t2*exp(-im*phi)
        ham[idx(x,1,nx)+nxy,idx(x,ny,nx)+nxy]=t2*exp(-im*phi)
        ham[idx(x,ny,nx)+nxy,idx(x,1,nx)+nxy]=t2*exp(+im*phi) 
        end
    
        for y in 1:ny
        ham[idx(1,y,nx),idx(nx,y,nx)+nxy]=t1
        ham[idx(nx,y,nx)+nxy,idx(1,y,nx)]=t1
        ham[idx(nx,y,nx),idx(1,y,nx)]=t2*exp(+im*phi)
        ham[idx(1,y,nx),idx(nx,y,nx)]=t2*exp(-im*phi)
        ham[idx(nx,y,nx)+nxy,idx(1,y,nx)+nxy]=t2*exp(-im*phi)
        ham[idx(1,y,nx)+nxy,idx(nx,y,nx)+nxy]=t2*exp(+im*phi)   
        end
        
        for x in 2:nx
            ham[idx(x,ny,nx),idx(x-1,1,nx)]=t2*exp(+im*phi)
            ham[idx(x-1,1,nx),idx(x,ny,nx)]=t2*exp(-im*phi)
            ham[idx(x,ny,nx)+nxy,idx(x-1,1,nx)+nxy]=t2*exp(-im*phi)
            ham[idx(x-1,1,nx)+nxy,idx(x,ny,nx)+nxy]=t2*exp(im*phi)
        end
        for y in 1:ny-1
            ham[idx(1,y,nx),idx(nx,y+1,nx)]=t2*exp(+im*phi)
            ham[idx(nx,y+1,nx),idx(1,y,nx)]=t2*exp(-im*phi)
            ham[idx(1,y,nx)+nxy,idx(nx,y+1,nx)+nxy]=t2*exp(-im*phi)
        ham[idx(nx,y+1,nx)+nxy,idx(1,y,nx)+nxy]=t2*exp(im*phi)
        end
        ham[idx(1,ny,nx),idx(nx,1,nx)]=t2*exp(+im*phi)
        ham[idx(nx,1,nx),idx(1,ny,nx)]=t2*exp(-im*phi)
        ham[idx(1,ny,nx)+nxy,idx(nx,1,nx)+nxy]=t2*exp(-im*phi)
        ham[idx(nx,1,nx)+nxy,idx(1,ny,nx)+nxy]=t2*exp(+im*phi)
    end
    #去除奇点
    if flag_pbc==0
        ham[1,1+nxy]=0
        ham[1+nxy,1]=0
        ham[idx(nx,ny,nx),idx(nx,ny,nx)+nxy]=0
        ham[idx(nx,ny,nx)+nxy,idx(nx,ny,nx)]=0
        ham[idx(1,1,nx),idx(1,1,nx)]=0
        ham[idx(1,1,nx),idx(2,1,nx)]=0
        ham[idx(2,1,nx),idx(1,1,nx)]=0
        ham[idx(1,1,nx),idx(1,2,nx)]=0
        ham[idx(2,1,nx),idx(1,1,nx)]=0
        ham[idx(nx,ny,nx)+nxy,idx(nx,ny,nx)+nxy]=0
        ham[idx(nx,ny,nx)+nxy,idx(nx-1,ny,nx)+nxy]=0
        ham[idx(nx,nx,nx)+nxy,idx(nx,ny-1,nx)+nxy]=0
        ham[idx(nx-1,ny,nx)+nxy,idx(nx,ny,nx)+nxy]=0
        ham[idx(nx,ny-1,nx)+nxy,idx(nx,ny,nx)+nxy]=0
    end
return ham
end
#hamiltonian in k-space
function hamk(k1::Float64,k2::Float64)
    t1=1.0
    t2=0.2
    m,γ=0.0,0.2
    phi=pi/2
    g0,g1,g2,g3=gamma()
    ham=zeros(ComplexF64,2,2)
    ham[1,2]=t1*(1+exp(-im*k1)+exp(-im*k2))
    ham[2,1]=conj(ham[1,2])
    temp_1=t2*exp(im*phi)*(exp(im*k1)+exp(-im*k2)+exp(im*(k2-k1)))
    ham[1,1]=temp_1+conj(temp_1)+m+im*γ
    temp_2=t2*exp(-im*phi)*(exp(im*k1)+exp(-im*k2)+exp(im*(k2-k1)))
    ham[2,2]=temp_2+conj(temp_2)-m-im*γ
    return ham
end

下面对于Haldane模型实空间开不同形状的边界

六角晶格

六角晶格紧束缚模型数值详解（附Julia代码）
http://xiangjichn.githut.io/2022/09/11/六角晶格紧束缚模型数值详解（附Julia代码）/
作者
Xiang ji
发布于
2022年9月11日
许可协议